Fecha de Recepción: 17/07
/2026
ǀ Fecha de Aceptación:
23/09
/2026
ǀ Fecha de Publicación:
27/10/2026
Página
53
PROYECTO PARA MEJORAR EL APRENDIZAJE DE LA INTEGRAL UTILIZANDO
TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN
Project to Improve the Learning of Integrals using Information Technology
https://doi.org/10.61117/ipsumtec.v9i2.479
DATOS DE AUTORES E IDENTIFICACIÓN
José Oscar Laguna Cortés
¹
, Selene Hernández Rodríguez
²*
, Erika López Sánchez
³
, María Patricia Torrijos
Muñoz
4
, Yaziry Yerusha Díaz Torres
5
1
José Oscar Laguna Cortés
Tecnológico Nacional de México / I. T. de Puebla
jose.laguna@puebla.tecnm.mx
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0519-2019
2
Selene Hernández Rodríguez
Tecnológico Nacional de México / I. T. de Puebla
selene.hernandez@puebla.tecnm.mx (Autor de correspondencia)
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0845-9436
3
Erika López Sánchez
Tecnológico Nacional de México / I. T. de Puebla
erika.lopez@puebla.tecnm.mx
ORCID: https://orcid.org/0009-0005-1073-6913
4
María Patricia Torrijos Muñoz
Tecnológico Nacional de México / I. T. de Puebla
mariapatricia.torrijos@puebla.tecnm.mx
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-4564-7513
5
Yaziry Yerusha Díaz Torres
Tecnológico Nacional de México / I. T. de Puebla
I24221434.05@puebla.tecnm.mx
ORCID: https://orcid.org/0009-0006-0557-5841
Disciplina:
[X] Educación en Ingeniería y Desarrollo Interdisciplinario
RESUMEN
Actualmente el uso de las Tecnologías de la Información ha facilitado el aprendizaje de los temas de las materias de
matemáticas. En este trabajo se presenta la implementación de un proyecto como actividad de la materia de Cálculo
Integral para reforzar el proceso de enseñanza del tema de área bajo la curva e integrales definidas dentro de una
aplicación
del
área
de
biología.
Para
evaluar
el
funcionamiento
del
proyecto
propuesto
se
siguió
un
enfoque
descriptivo y cuantitativo. Desde el punto de partida de un enfoque descriptivo, se tiene como objetivo medir y evaluar
el impacto de este proyecto de trabajo en equipo para mejorar la comprensión del tema con la inclusión del uso de
Tecnologías de la Información. En esta investigación se utilizó un enfoque cuantitativo para medir numéricamente y
evaluar el impacto de este proyecto de exposición en los estudiantes de ingeniería. Para realizar estas mediciones se
utilizaron tres instrumentos los cuales fueron: un examen previo realizado antes del desarrollo del
proyecto, un
examen similar aplicado después del desarrollo del proyecto por parte de los alumnos y finalmente una encuesta para
medir la experiencia de los alumnos después de desarrollar el proyecto propuesto. En la sección de Resultados se
muestra una tabla comparativa en la que se puede observar el promedio general del grupo, la mediana y la moda de
las calificaciones obtenidas antes y después de la implementación del proyecto. Se muestran también gráficas de
porcentajes de opiniones obtenidas a partir de la encuesta realizada a los estudiantes. A partir de estos resultados se
puede observar una mejora en la comprensión general del grupo, así como una homogeneización de las calificaciones
de los estudiantes.
Esta
obra
está
bajo
una
licencia
internacional
Creative
Commons
Atribución 4.0.
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Palabras Clave--
Área bajo la curva, integral definida, aplicaciones de la integral definida, tasas de crecimiento
biológico.
ABSTRACT
Nowadays, the use of Information Technologies has facilitated the learning of mathematics topics. This paper presents
the implementation of a project within an Integral Calculus course designed to reinforce the teaching of the area
under the curve and definite integrals through an application in biology. A descriptive and quantitative approach was
adopted to evaluate the project's performance. The descriptive component aimed to measure and assess the impact of
this teamwork project on improving topic comprehension through the integration of information technologies. A
quantitative approach was used to numerically measure and evaluate the impact of this presentation-based project
on engineering students. Three instruments were used for these measurements: a pre-test administered before the
project began a similar post-test administered after the students completed the project, and a survey to gauge the
students' experience following the project's completion. The Results section presents a comparative table showing the
group's overall average, median, and mode scores obtained before and after the project's implementation. Graphs
illustrating the percentage breakdown of student opinions from the survey are also included. These results indicate
an improvement in the group's overall understanding as well as greater consistency in student grades.
Keywords--
Area under the curve, definite integral, applications of the definite integral, biological growth rates.
INTRODUCCIÓN
En diversos trabajos de investigación se han reportado metodologías basadas en la implementación de
Aplicaciones
Web
y
Tecnologías
de
la
Información
(TI)
para
visualizar
y
facilitar
la
comprensión
y
enseñanza de algunos temas relacionados con las materias de biología, física y matemáticas, dentro de los
programas de estudio de ingeniería. Por lo tanto, ha sido importante la incursión del uso de estas tecnologías
para coadyuvar en el desarrollo del pensamiento crítico e induciendo a la mejora de sus destrezas para el
aprendizaje del cálculo integral.
Por ejemplo, en el trabajo desarrollado en [1], se presenta un enfoque para facilitar el aprendizaje de física
de estado sólido a través de un programa interactivo y proyección estereoscópica. Este enfoque integra una
visualización
en
tres
dimensiones
desde
las
instrucciones
para
facilitar
la
comprensión
de
conceptos
abstractos
a
través
de
simulaciones
interactivas,
con
lo
cual
se
obtiene
una
mejor
comprensión
que
utilizando los métodos tradicionales como el pizarrón o presentaciones de PowerPoint.
En [2] los autores indican que la tecnología no sustituye lo que se debe enseñar y aprender, es decir que, la
tecnología
es
una
herramienta
muy
útil
para
el
desarrollo
de
las
integrales
ya
sean
estas
definidas
o
indefinidas ya que sin estas habría casos muy difíciles de resolver. Sin dejar de lado los paradigmas que se
deben seguir para poder explicar y comprender de manera lógica el desarrollo de los problemas, como se
menciona en [3].
En [4] se afirma que la modelación en el discurso escolar es concebida como una práctica social que
favorece
la
construcción
del
conocimiento
científico.
Específicamente
en
el
área
de
Matemáticas,
los
estudios
revisados
reportan
que
el
laboratorio
virtual
promueve
el
desarrollo
de
habilidades
para
matematizar situaciones del entorno que pueden ser trasladadas fuera del aula, desde luego con las bases
conceptuales
que
son
tratadas
en
la
clase.
Además,
permite
la
comprensión
de
los
mismos
conceptos
Matemáticos porque a través de las TIC se pueden generar aplicaciones dinámicas interactivas y observar
relaciones de causa-efecto, y complementado con un diseño instruccional intencionado didácticamente se
puede lograr que las y los estudiantes obtengan sus propias conclusiones [5].
En [3] los autores concluyen que el uso del GeoGebra ayuda de manera sustancial a la resolución de
problemas y es una herramienta para utilizar como estrategia en el aprendizaje del cálculo integral.
En [6] los autores implementan la integral definida para el análisis de la propiedad de la viscosidad en los
fluidos, con el objetivo de proporcionar una guía para la investigación y análisis en este campo complejo
desde una perspectiva del cálculo matemático.
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En
[5]
los
autores
emplean
el
laboratorio
virtual
de
matemáticas
para
promover
la
comprensión
de
conceptos de la asignatura de cálculo diferencial. Su metodología consiste en prácticas de laboratorio, uso
de simuladores y applets diseñados.
En [7] es diseñado un material didáctico a través del uso de herramientas digitales como la plataforma
Moodle, la pizarra digital Jamboard y la aplicación de Samsung notes. Con los recursos digitales obtuvieron
diferentes
beneficios
al
hacer
uso
de
plataformas
y
aplicaciones
diversas,
como
el
acompañamiento
y
seguimiento del docente, la realimentación y/o reforzamiento y el acceso a las clases grabadas.
En [8] se evalúa el impacto del software GeoGebra en la enseñanza del cálculo diferencial e integral en
educación superior, analizando autorregulación, metacognición, significatividad, percepción del entorno,
lenguaje simbólico y razonamiento. Concluyendo que GeoGebra es una herramienta innovadora que mejora
el aprendizaje de las matemáticas.
En [9] los autores diseñaron una metodología cuantitativa dirigida al desarrollo de la habilidad para el
cálculo de integrales definidas en los estudiantes de la carrera de Licenciatura en Contabilidad y Finanzas.
Su aplicación en la práctica evidenció transformaciones favorables en el nivel de desarrollo de la habilidad
objeto de análisis.
En algunos otros trabajos de investigación se reportan aspectos positivos de implementar herramientas
Tecnologías de la Información para reforzar el proceso de aprendizaje en diversas áreas de conocimiento
([10], [11], [12], [13] y [14]).
En [15] los
autores
concluyen
que
la
aplicación
de
simuladores
matemáticos
permite
a
los
estudiantes
visualizar
y
comprender
de
manera
interactiva
los
conceptos
y
procesos
relacionados
con
el
cálculo
integral.
En [16] es diseñado un módulo electrónico interactivo integrado con GeoGebra Classroom para apoyar la
comprensión conceptual de las integrales por parte de los estudiantes. Con el módulo electrónico interactivo
integrado en GeoGebra Classroom indicaron la viabilidad para su uso como recurso de aprendizaje que
ayude a los estudiantes a comprender conceptualmente el cálculo integral.
En
[17]
los
autores
indican que
el
uso
de
aplicaciones
móviles
por
parte
de
los
estudiantes
para
la
visualización de funciones y otros objetos geométricos en el plano y en el espacio contribuye a un mejor
rendimiento de los estudiantes en la resolución de integrales múltiples.
En
[18]
los
autores
infieren que
el
aprendizaje
de
las
matemáticas,
mediado
por
tecnologías
digitales,
permite
el
desarrollo
de
contenidos
de
forma
eficaz
y
ágil
para
los
estudiantes.
Durante
la
actividad
evaluaron el aumento de la capacidad de resolución de problemas, la comunicación entre compañeros y el
uso de herramientas tecnológicas. La motivación, el aprendizaje y el desarrollo de habilidades blandas y
duras de los estudiantes mejoraron la calidad de la enseñanza y el proceso de aprendizaje.
En [19] implementaron una secuencia didáctica para estudiantes de ingeniería, donde utilizaron algunas
herramientas TIC, como la página web. La implementación la realizaron con el objetivo de mejorar el
aprendizaje del concepto matemático de cálculo de áreas a través de la integral definida.
En [20] los autores examinaron los tipos de errores que cometen los estudiantes al resolver problemas de
integración en cálculo mediante la implementación del Aprendizaje Basado en Proyectos (ABP) utilizando
el software GeoGebra. Concluyeron que la combinación del aprendizaje basado en problemas (ABP) con
GeoGebra
permitió
a
los
estudiantes
visualizar
conceptos
integrales
de
forma
dinámica
y
mejorar
la
comprensión geométrica tanto de las integrales definidas como de las indefinidas.
En
este
trabajo
se
estudia
las
aplicaciones
de
la
integral
comprendiendo
sus
fundamentos
teóricos
y
aplicándolos en el análisis y resolución de situaciones reales. El propósito es adquirir los fundamentos
teóricos de la integral necesarios para la aplicación en problemas. En este contexto, se propone un proyecto
dentro de la materia de Cálculo Integral para abordar el tema de la Integral Definida como proceso de
acumulación dentro de una aplicación particular del área de biología. En esta área las integrales se pueden
utilizar
para:
modelar
procesos
biológicos
dinámicos,
tasas
de
crecimiento
biológico,
propagación
de
enfermedades, tasas metabólicas en organismos entre otros cambios a lo largo del tiempo o el espacio. En
este
trabajo,
en
particular,
se
seleccionó
la
aplicación
de
tasas
de
crecimiento
de
poblaciones
para
desarrollar el proyecto.
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El proyecto propuesto tiene
como objetivo reforzar el aprendizaje del tema de los temas “área bajo
la curva”
e
“integral definida”
dentro de la materia de Cálculo Integral. Este proyecto propuesto involucra tres partes,
las cuales son: el cálculo analítico de una integral definida de forma tradicional, es decir, realizando cálculos
en la libreta; la segunda parte consiste en la verificación de resultados utilizando el programa interactivo
para realizar cálculo matemáticos en línea de GeoGebra [15]; finalmente la tercera parte consiste en la
exposición
en
grupo
del
tema
desarrollado
utilizando
la
creatividad
e
iniciativa
de
los
estudiantes
de
ingeniería para desarrollar y platicar la práctica propuesta y sus correspondientes análisis y conclusiones.
Con
el
desarrollo
de
este
proyecto
se
espera
contribuir
a
mejorar
su
capacidad
de
colaboración
y
comunicación. Además de que, con este proyecto se espera fomentar el desarrollo de la creatividad para
comprender,
resolver
y
explicar
un
problema
real,
con
lo
cual
se
contribuye
en
su
desarrollo
como
ingenieros.
Para medir la funcionalidad del proyecto propuesto se utilizaron tres instrumentos los cuales fueron: un
examen
previo
realizado
antes
del
desarrollo
del
proyecto,
un
examen
similar
aplicado
después
del
desarrollo del proyecto por parte de los alumnos y finalmente una encuesta para medir la experiencia de los
alumnos después de desarrollar el proyecto propuesto.
METODOLOGÍA
Declaración de IA Generativa
Si se utilizó IA (como ChatGPT, Claude, Gemini) para redactar o analizar datos, se deberá
de especificar el modelo y versión en la sección de metodología.
No se utilizó IA
Responsabilidad
Se
deberá
declarar
la
responsabilidad
por
la
veracidad
de
los
datos,
garantizando
la
ausencia de "alucinaciones" o sesgos.
Nos declaramos responsables de la veracidad
de los datos.
Diseño de investigación:
Indicar el tipo de diseño utilizado en el estudio y justifique brevemente por qué es el más
adecuado
para
responder
a
la
pregunta
de
investigación
.
Para
desarrollar
esta
investigación se utilizó un enfoque descriptivo y cuantitativo. Así, uno de los
objetivos de este trabajo de investigación es medir y evaluar la implementación
de un proyecto en equipo para facilitar el aprendizaje del
tema “aplicaciones de
integrales
definidas”
dentro
de
la
materia
de
Cálculo
Integral.
Para
evaluar
cuantitativamente el impacto de este trabajo de investigación, los instrumentos
de evaluación fueron un examen escrito relacionado con el tema (antes y después
de la exposición) y una encuesta realizada por los estudiantes de ingeniería.
Justificación muestral:
Describir las características de la muestra o participantes (tamaño, criterios de inclusión y
exclusión, tipo de muestreo empleado) y argumente por qué dicha muestra es representativa
o pertinente para los objetivos del estudio.
Para desarrollar esta investigación se utilizó un enfoque cuasi- experimental en
el que se tomó como caso de estudio un grupo de 38 alumnos inscritos en un
grupo de la materia de Cálculo Integral en el período escolar de Enero Junio de
2026 en el Instituto Tecnológico de Puebla. Se consideró una evaluación antes
del
proyecto
y
una
evaluación
después
de
las
exposiciones
del
proyecto para
validar su funcionamiento en la mejora de la comprensión del tema planteado.
Instrumento(s):
Especificar
los
instrumentos,
técnicas
o
herramientas
utilizadas para
la
recolección
de
datos
(p.
ej.,
cuestionarios,
escalas,
entrevistas,
pruebas
estandarizadas).
Incluir
información sobre su validez, confiabilidad y adaptaciones realizadas, de ser el caso.
Examen Antes- Después del proyecto propuesto y una Encuesta realziada a los
alumnos
Procedimiento:
Describir
de
manera
ordenada
y
detallada
los
pasos
seguidos
para
llevar
a
cabo
la
investigación,
desde
el
reclutamiento
de
participantes
hasta
la
recolección
de
datos,
indicando las condiciones bajo las cuales se desarrolló el estudio
Estos pasos se describen en esta sección
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Análisis de la información:
Explicar las técnicas estadísticas o metodológicas empleadas para procesar e interpretar
los datos obtenidos (p. ej., análisis descriptivo, inferencial, análisis de contenido, software
utilizado), en correspondencia con el diseño y los objetivos del estudio.
Para interpretar los datos se utilizan tablas comparativas de promedios y gráficas
de barras para analizar los resultados de las encuestas.
Limitaciones metodológicas:
Señalar las restricciones o condicionantes del estudio que puedan afectar la generalización
o interpretación de los resultados, como el tamaño de la muestra, el alcance geográfico, el
tipo de instrumento o posibles sesgos identificados.
Este trabajo se limitó a una función de crecimiento, en la cual el único parámetro
a variar fue el tiempo (variable t).
Para desarrollar esta investigación se utilizó un enfoque cuasi-experimental, descriptivo y cuantitativo. Desde el punto
de partida de un enfoque descriptivo, se tiene como objetivo de este trabajo de investigación medir y evaluar la
implementación de un proyecto en equipo para facilitar el aprendizaje del tema “aplicaciones de integrales definidas”
dentro de la materia de Cálculo Integral. Para poder evaluar de manera cuantitativa el impacto de este trabajo de
investigación, se utilizaron algunos instrumentos de medición. Los instrumentos de evaluación fueron un examen
escrito relacionado con el tema (antes y después de la exposición) y una encuesta realizada por los estudiantes de
ingeniería. Cabe mencionar que estos instrumentos de medición fueron propuestos, analizados, discutidos y aprobados
de manera colegiada por el área de Ciencias Básicas del Instituto.
Para realizar mediciones acerca del examen escrito, el cual se aplica antes y después de la exposición, consiste en tres
preguntas a partir del siguiente planteamiento: dada una tasa de crecimiento de cierta población de individuos, descrita
por la función
()
, y la población inicial
(0)
, estimar la población dentro de cierto período de tiempo
()
. A partir
de este planteamiento las preguntas son las siguientes:
1.
Define la función de población.
Dado que la función de población se puede definir como la integral de la función
de la tasa de crecimiento, para responder esta pregunta el alumno debe resolver la integral de la función
()
. Para
resolver esta integral el alumno debe identificar y utilizar el método adecuado dentro de los métodos ya vistos en clase.
2.
Calcula el crecimiento de la población dentro de cierto período de tiempo.
Para responder esta pregunta el alumno
debe utilizar su respuesta del ejercicio anterior y evaluar esta expresión en el intervalo de cero al período de tiempo
que se haya indicado en el planteamiento (intervalo [0, b]). Este paso representa la solución de la integral definida.
3.
Define la población total al final de este período de tiempo.
Una vez obtenida la estimación acerca del número de
individuos en el período indicado (
()|
), el alumno debe sumar la condición de inicio (
(0)
), es decir el número de
individuos que existe actualmente antes de la estimación a futuro.
El
proyecto
propuesto
dentro
de
este
trabajo
de
investigación
contribuye
al
fortalecimiento
de
la
competencia
específica de la materia de Cálculo Integral correspondiente
a la Unidad 2, la cual es: “
Discernir cuál método puede
ser más adecuado para resolver una integral dada y resolverla usándolo. Determinar una función
primitiva “
. En este
caso práctico, el alumno debe lograr identificar qué método de integración utilizar para resolver la integral indicada.
Además,
también
se
contribuye
a
alcanzar
la
competencia
específica
correspondiente
a
la
Unidad
3,
la
cual
es:
“Interpretar
enunciados de problemas para construir la función que al ser integrada da la solución. Resolver problemas
de cálculo de áreas, centroides, longitud de curvas y volúmenes de sólidos de revolución. Reconocer el potencial del
Cálculo integral en la ingenier
ía”.
En este caso práctico, el alumno debe lograr interpretar enunciados para resolver
un problema de aplicación dentro del área de biología utilizando integrales.
El proyecto de exposición consiste en los siguientes cuatro pasos:
Paso 1.
Esta etapa está relacionada con un cálculo analítico por parte de los integrantes del equipo y consiste en una
secuencia de actividades que son: identificar el modelo de la función que representa el crecimiento de la población,
integrar la función de crecimiento y, finalmente, evaluarla en los distintos períodos de tiempo, con lo cual se obtendrán
las estimaciones de población resultantes en ciertos períodos de tiempo.
Paso 2.
Esta etapa consiste en utilizar GeoGebra para rectificar resultados obtenidos por los equipos de estudiantes de
ingeniería.
Paso 3.
Esta etapa consiste en la exposición en formato libre de su desarrollo del tema y concusiones de los resultados
obtenidos.
Paso 4.
Esta etapa consiste en realizar la encuesta individualmente.
Dentro de este proyecto de investigación se seleccionó la herramienta de GeoGebra debido a que es un programa
robusto que permite realizar cálculos relacionados con temas de Cálculo Integral. También, cabe mencionar que el
programa de GeoGebra es de uso libre y de fácil acceso para los estudiantes de ingeniería, ya que sin necesidad de
instalación pueden tener acceso desde cualquier dispositivo con internet del que dispongan para trabajar.
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La encuesta tiene como objetivo recolectar datos para analizar la funcionalidad del proyecto propuesto. Las preguntas
propuestas en la encuesta son las siguientes:
1. En tu opinión, ¿la comprensión del tema mejora utilizando GeoGebra?
2. En tu opinión, ¿es de fácil manejo la herramienta GeoGebra?
3. Consideras que manejar GeoGebra como herramienta para graficar funciones y realizar cálculos matemáticos puede
ser útil en algunas otras materias de tu carrera.
4. En tu opinión, ¿esta actividad te dejó una experiencia positiva?
Para desarrollar esta investigación se utilizó un enfoque cuasi- experimental, ya que se tomó como caso de estudio un
grupo de 38 alumnos inscritos en un grupo de la materia de Cálculo Integral en el período escolar de Enero Junio de
2026
en
el
Instituto
Tecnológico
de
Puebla.
El
criterio
que
se
utilizó
para
seleccionar
los
alumnos
para
este
experimento fue seleccionar un grupo de alguno de los autores de este trabajo como grupo piloto para realizar las
mediciones antes descritas para evaluar el funcionamiento del proyecto propuesto dentro de la materia de Cálculo
Integral. En la siguiente sección se describe la resolución matemática del problema planteado dentro de este proyecto
de investigación.
Preliminares
Algunas aplicaciones de las integrales dentro del área de biología se relacionan con el crecimiento o decrecimiento de
ciertos procesos. En particular, se abordará el caso de la tasa de crecimiento biológico de una población. Dada la
función
()
que describe la tasa de crecimiento de una población se puede calcular o utilizar el área bajo la curva
entre cierto período de tiempo (o intervalo [a, b]) la cual en este caso sería un ejemplo de suma acumulada que nos
reportaría la población (P(x)) en este intervalo.
∫
()
=
()|
=
()
−
()
Ec. (1)
La primitiva de esta función aplicando la fórmula fundamental del cálculo se muestra en la ecuación 1 (ver Ec (1)).
Con esta aplicación, se contribuye al desarrollo de habilidades para calcular integrales indefinidas por parte de los
estudiantes. Utilizando propiedades, integrales inmediatas, reglas o métodos de integración para hallar la anti derivada
([16] y [17]).
Ejemplo 1.
Una población de bacterias crece a una tasa constante de crecimiento de
()
=
(4
+
2)(
−
1)
bacterias
por mes. La población actual de bacterias es de 15000. ¿Cuál sería la población estimada en 12, 18 y 24 meses?
Análisis:
la
población
de
bacterias
(la
función
P
(t))
se
puede
aproximar
calculando
la
integral
de
la
función
correspondiente a la tasa de crecimiento, lo que nos regresaría la población en cada período de tiempo. Y finalmente
sumar la población actual (
(0)
=
15000
), con lo que se obtendría un estimado de la población hasta el momento.
Para integrar la función se puede reescribir como:
∫
()
= ∫
(4
+
2)(
−
1)
= ∫
(4
−
2
−
2)
Ec. (2)
A partir de esta expresión, se pueden aplicar fórmulas de integración directa, en particular la fórmula de la integral de
la potencia para integrar cada término de la expresión, con lo cual se obtendría la primitiva o antiderivada:
()
=
4
3
−
−
2|
Ec. (3)
Para el caso del primer período que corresponde a la población estimada en 12 meses, el intervalo a calcular es [0,
12]. Para calcular la integral definida se sustituye b=12 y a=0 en la Ec (3) y se obtiene que:
∫
()
=
[
4
3
(12)
−
(12)
−
2(12)]
− [
4
3
(0)
−
(0)
−
2(0)]
Ec. (4)
Realizando los cálculos de forma analítica se obtiene un valor aproximado de 2136 individuos. Sin embargo, esta es
sólo la población que se generó durante este período, por lo que además habría que sumar la población inicial (como
se indica en la ecuación Ec. (5)).
(12)
=
15000
+ ∫
()
Ec. (5)
Finalmente, la población estimada para este período sería de 17136 individuos.
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Después de realizar los cálculos de manera analítica, en la Etapa 2 los estudiantes deben comprobar sus cálculos
utilizando la herramienta de GeoGebra. Para realizar esta comprobación deben introducir las instrucciones que se
muestran en la Figura 1, para verificar que la integral definida en el intervalo [0, 12] se aproxima al valor calculado
en la etapa anterior. En esta etapa se pueden apoyar de la participación de los integrantes del equipo para lograr este
objetivo en conjunto.
Figura 1
.
Instrucciones introducidas en GeoGebra para obtener el área bajo la curva en el intervalo [0, 12].
Fuente
. Elaboración propia.
Figura 2
.
Instrucciones introducidas en GeoGebra para obtener el área bajo la curva en el intervalo [0, 18]
.
Fuente
. Elaboración propia.
Se puede introducir en GeoGebra la
instrucción:
areaPoblacion
= Integral (r(x), 0, 12)
La cual asigna a la variable
areaPoblacion
el
valor de la integral definida de la función
indicada r(x) en el intervalo [0, 12]
El valor de la suma
acumulada para este
intervalo es de 2136
individuos, en este
caso. Sin embargo, se
deben sumar los 15000
elementos iniciales.
Por lo que la población
final a los 12 meses es
de 17136 individuos.
El valor de la suma
acumulada para este
intervalo es de 7416
individuos, en este
caso. Sin embargo, se
deben sumar los 15000
elementos iniciales.
Por lo que la población
final a los 18 meses es
de 22416 individuos.
Se puede introducir en GeoGebra la
instrucción:
areaPoblacion
= Integral (r(x), 0, 18)
La cual asigna a la variable
areaPoblacion
el
valor de la integral definida de la función
indicada r(x) en el intervalo [0, 18]
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Figura 3
.
Instrucciones introducidas en GeoGebra para obtener el área bajo la curva en el intervalo [0, 24]
.
Fuente
. Elaboración propia.
A partir de la Figura 1 se puede observar que, para este ejemplo, la integral definida en el intervalo [0, 12] es de 2136,
la cual coincide con los datos analíticos. De manera similar, para estimar el crecimiento de la población en 18 meses,
correspondería al caso de evaluar la integral definida en el intervalo [0, 18] utilizando GeoGebra como se muestra en
la Figura 2. En este caso debe coincidir el valor estimado de población de 7416 individuos dentro de este período,
obtenidos tanto de forma analítica como en GeoGebra. A esta cantidad de individuos se le debe sumar los 15000 de
la condición inicial, lo cual daría como resultado un estimado de 22416 individuos para 18 meses.
Finalmente, para el caso de la población estimada en 24 meses, en la Figura 3 se muestran las instrucciones de
GeoGebra para calcular la población de individuos en este período. Esta cantidad de individuos (17808) también se
debe sumar a la condición inicial de 15000, obteniéndose una población final de 32808 individuos.
En las Figuras 4, 5 y 6 se muestra las gráficas obtenidas en GeoGebra donde se espera que el alumno pueda observar
y argumentar en sus conclusiones como se relaciona la integral definida con el proceso de acumulación dentro del
área de biología, en particular en esta aplicación de análisis de crecimiento poblacional.
Figura 4
.
Gráfica resultante en GeoGebra donde se puede observar el área bajo la curva en el intervalo [0, 12]
.
Fuente
. Elaboración propia.
El valor de la suma
acumulada para este
intervalo es de 17808
individuos, en este
caso. Sin embargo, se
deben sumar los 15000
elementos iniciales.
Por lo que la población
final a los 24 meses es
de 32808 individuos.
Se puede introducir en GeoGebra la
instrucción:
areaPoblacion
= Integral (r(x), 0, 24)
La cual asigna a la variable
areaPoblacion
el
valor de la integral definida de la función
indicada r(x) en el intervalo [0, 24]
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Figura 5
.
Gráfica resultante en GeoGebra donde se puede observar el área bajo la curva en el intervalo [0, 18]
.
Fuente
. Elaboración propia.
Figura 6
.
Gráfica resultante en GeoGebra donde se puede observar el área bajo la curva en el intervalo [0, 24]
.
Fuente
. Elaboración propia.
En la Figura 7 se muestra una gráfica de estas tres poblaciones en los diferentes períodos de tiempo evaluados.
Figura 7
.
Población estimada para 12, 18 y 24 meses
.
Fuente
. Elaboración propia.
Ejemplo 2.
La razón de propagación de una gripe (tasa de crecimiento de la población) por mes está dada por
()
=
√10
habitantes por mes. La población actual es de 2600. ¿Cuál sería la población estimada en 3, 5 y 7 meses?
Análisis:
la
población
de
habitantes
(la
función
P
(x))
se
puede
aproximar
calculando
la
integral
de
la
función
correspondiente a la tasa de crecimiento (Ec. (6)), lo que nos regresaría la población en cada período de tiempo. Y
finalmente sumar la población actual, la cual en este ejemplo es de 2600 (
(0)
=
2600
), con lo que se obtendría un
estimado de la población hasta el momento.
∫
()
= ∫
10
= ∫
10
Ec. (6)
A partir de esta expresión, se puede aplicar la fórmula de integración mostrada en la ecuación Ec. (7)
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∫
=
ln
()
Ec. (7)
De esta manera, para aplicar la fórmula de Ec. (7), se puede realizar un paso de sustitución donde
=
y
2 / 3
=
. Finalmente, la integral resultante (anti derivada) sería:
()
=
2
3
10
ln(10)
|
Ec. (8)
Para el caso del primer período que corresponde a la población estimada en 3 meses, el intervalo a calcular es [0, 3].
Para calcular la integral definida se sustituye b=3 y a=0 en la Ec (8) y se obtiene que:
∫
()
=
2
3
10
()
ln(10)
−
2
3
10
()
ln(10)
Ec. (9)
Realizando los cálculos de forma analítica se obtiene un valor aproximado de 9154.19, lo cual en este caso podríamos
aproximar a 9154 individuos. Sin embargo, esta es sólo la población que se generó durante este período, por lo que
además habría que sumar la población inicial (como se indica en la ecuación Ec. (10)).
(3)
=
2600
+ ∫
()
Ec. (10)
Finalmente, la población estimada para este período sería de aproximadamente 11754.19 individuos.
Al igual que en el ejemplo 1, en la Etapa 2 los estudiantes deben comprobar sus cálculos realizados de forma analítica
utilizando la herramienta de GeoGebra. Para realizar esta comprobación deben introducir las instrucciones que se
muestran en la Figura 8, para verificar que la integral definida en el intervalo [0, 3] se aproxima al valor calculado en
la etapa anterior.
A partir de la Figura 8 se puede observar que, para este ejemplo, la integral definida en el intervalo [0, 3] utilizando
el programa de GeoGebra es de 9155.44, esta cantidad se aproxima a los datos calculados analíticamente en los cuales
se obtuvo un valor de 9154.19, sin embargo, varía ligeramente debido al número de decimales manejados.
Figura 8
.
Instrucciones introducidas en GeoGebra para obtener el área bajo la curva en el intervalo [0, 3]
.
Fuente
. Elaboración propia.
Se puede introducir en GeoGebra la
instrucción:
areaPoblacion
= Integral (r(x), 0, 3)
La cual asigna a la variable
areaPoblacion
el
valor de la integral definida de la función
indicada r(x) en el intervalo [0, 3]
El valor de la suma
acumulada para este
intervalo es de
9155.44 individuos,
en este caso.
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63
Figura 9
.
Instrucciones introducidas en GeoGebra para obtener el área bajo la curva en el intervalo [0, 5]
.
Fuente
. Elaboración propia.
Figura 10
.
Instrucciones introducidas en GeoGebra para obtener el área bajo la curva en el intervalo [0, 7]
.
Fuente
. Elaboración propia.
De manera similar, para estimar el crecimiento de la población en 5 meses, correspondería al caso de evaluar la integral
definida en el intervalo [0, 5] utilizando GeoGebra como se muestra en la Figura 9. En este caso debe coincidir el
valor aproximado de población de 9155731.30 individuos dentro de este período, obtenidos tanto de forma analítica
como en GeoGebra. A esta cantidad de individuos se le debe sumar los 2600 de la condición inicial, lo cual daría
como resultado un estimado de 9158331 individuos para 5 meses.
Finalmente, para el caso de la población estimada en 7 meses, en la Figura 10 se muestran las instrucciones de
GeoGebra para calcular la población de individuos en este período. Esta cantidad de individuos (aproximadamente
9155731586.76) también se debe sumar a la condición inicial de 2600, obteniendo así una población final estimada
de 9155734186.76 individuos.
En las Figuras 11, 12 y 13 se muestran las gráficas obtenidas en GeoGebra similares a las que los estudiantes deben
desarrollar, explicar y argumentar en su proyecto de exposición. En la Figura 14 se muestra una gráfica de estas tres
poblaciones en los diferentes períodos de tiempo evaluados (3, 5 y 7 meses).
Se puede introducir en GeoGebra la
instrucción:
areaPoblacion
= Integral (r(x), 0, 5)
La cual asigna a la variable
areaPoblacion
el
valor de la integral definida de la función
indicada r(x) en el intervalo [0, 5]
El valor de la suma
acumulada para este
intervalo es de
9155731.29
individuos, en este
caso.
Se puede introducir en GeoGebra la
instrucción:
areaPoblacion
= Integral (r(x), 0, 7)
La cual asigna a la variable
areaPoblacion
el
valor de la integral definida de la función
indicada r(x) en el intervalo [0, 7]
El valor de la suma
acumulada para este
intervalo es de
9155731586.75
individuos, en este
caso.
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Figura 11
.
Gráfica resultante en GeoGebra donde se puede observar el área bajo la curva en el intervalo [0, 3]
.
Fuente
. Elaboración propia.
Figura 12
.
Gráfica resultante en GeoGebra donde se puede observar el área bajo la curva en el intervalo [0, 5]
.
Fuente
. Elaboración propia.
Figura 13
.
Gráfica resultante en GeoGebra donde se puede observar el área bajo la curva en el intervalo [0, 7]
.
Fuente
. Elaboración propia.
Figura 14
.
Propagación de la gripe para 3, 5 y 7 meses
.
Fuente
. Elaboración propia.
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65
RESULTADOS
Para evaluar el aporte del proyecto propuesto en el aprovechamiento de los estudiantes de ingeniería de este Instituto
se compararon las puntuaciones obtenidas antes y después del desarrollo del proyecto, cuyos resultados se muestran
en la Tabla 1.
Tabla 1.
Tabla de resultados obtenidos por el grupo de estudio.
Puntuación
promedio
del grupo
Mediana
Rango
Evaluación antes de
la exposición
64.2
74
56
Evaluación después
de la exposición
94.8
100
27
Fuente
.
Elaboración propia.
A partir de la Tabla 1 se pueden observar los resultados cuantitativos obtenidos por el grupo de examen, el cual se
realizó antes del desarrollo del proyecto propuesto (y después de explicar el tema de manera tradicional por parte del
maestro). En este examen se obtuvo un promedio del grupo de 64.2/100, con una Mediana de 74/100 y un Rango de
56 puntos.
Posteriormente, se realizan las exposiciones, en las cuales los equipos de estudiantes participan para exponer sus
cálculos analíticos, desarrollos en GeoGebra y conclusiones.
Finalmente, después de realizar el proyecto propuesto para mejorar la comprensión del tema “aplicaciones de las
integrales definidas” dentro de la mat
eria de Cálculo Integra se realiza una segunda evaluación. En la tabla 1 se
muestran los resultados obtenidos de esta segunda evaluación. A partir de estos resultados se puede observar se obtiene
un promedio del grupo de 94.8/100, con una Mediana de 100/100 y un Rango de 27 puntos.
Con los resultados mostrados en la tabla 1 se puede observar una mejora, de 64.2 a 94.8 puntos, en los promedios del
grupo obtenidos por los estudiantes dentro del experimento propuesto para la materia de Cálculo Integral. También se
obtiene una mejora en la Mediana del grupo, la cual sube de 74 a 100 puntos.
Acerca del Rango, el cual nos da información acerca de que tan lejanos o cercanos se encuentran la calificación mínima
y la máxima dentro del grupo, se puede observar que este valor se reduce después de realizar el proyecto en equipo,
por lo que se logra una homogeneización de conocimientos dentro del grupo de estudio.
Con el objetivo de obtener una retroalimentación a partir de la experiencia de los participantes, se realizó una encuesta,
cuyos resultados se muestran en las Figuras 15, 16, 17 y 18.
Figura 15
.
Porcentaje de respuestas correspondiente a la pregunta número 1: En tu opinión, ¿la comprensión del tema mejoró
desarrollando el proyecto?
Fuente
. Elaboración propia.
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Figura 16
.
Porcentaje de respuestas correspondiente a la pregunta número 2: En tu opinión, ¿es de fácil manejo la herramienta
GeoGebra?
Fuente
. Elaboración propia.
Figura 17
.
Porcentaje de respuestas correspondiente a la pregunta número 3: Consideras que manejar GeoGebra o alguna otra
herramienta para graficar y realizar cálculos matemáticos puede ser útil en algunas otras materias de tu carrera
.
Fuente
. Elaboración propia.
Figura 18
.
Porcentaje de respuestas correspondiente a la pregunta número 4: En tu opinión, ¿esta actividad de trabajo en
equipo te dejó una experiencia positiva?
Fuente
. Elaboración propia.
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67
DISCUSIÓN
También, a partir de los resultados de estas encuestas se puede observar que, dado que los alumnos de ingeniería que
cursan Cálculo Integral se encuentran en los primeros semestres de sus programas de estudio, la mayoría no ha tenido
contacto con herramientas de Tecnologías de la Información enfocadas a cálculos matemáticos, como es el caso de
GeoGebra, por lo que esta práctica presentó cierto grado de dificultad y retos (ver Figuras 16 y 18). Sin embargo,
reconocen la necesidad de manejar estas herramientas ya que será de utilidad en otras materias del programa de estudio
(ver Figura 17). Por esta razón, aun cuando el desarrollo de esta práctica implicó mucho esfuerzo en algunos casos, el
desarrollo
de
esta
práctica
resulta
en
una
experiencia
positiva
que
les
aporta
nuevas
habilidades
útiles
para
las
siguientes materias entro del programa de ingeniería que se encuentren.
Finalmente, acerca de los resultados obtenidos utilizando la metodología propuesta se puede observar que se logra
una mejora en el aprendizaje del tema de “aplicaciones de las integrales definidas” (ver Figura 15). Esta conclusión
coincide con los resultados que se reportan en algunos otros trabajos que utilizan también herramientas de Tecnologías
de la Información para mejorar los procesos de enseñanza dentro del área de matemáticas.
Finalmente, acerca de los resultados obtenidos utilizando la metodología propuesta se puede observar que se logra
una
mejora
en
el
aprendizaje
del
tema
de
“
Área
bajo
la
curva
”
y
“
Aplicaciones
de
la
Integral
Definida
”.
Esta
conclusión coincide con los resultados que se reportan en algunos otros trabajos que utilizan también herramientas de
Tecnologías de la Información dentro del área de matemáticas. Por ejemplo, en [14] los autores concluyen a partir de
los
experimentos
realizados
que
los
alumnos
perciben
las
herramientas
de
Inteligencia
Artificial
como
útiles
y
esenciales para el desarrollo de competencias tecnológicas. También, en [5] se crea un laboratorio virtual para reforzar
la materia de Cálculo Diferencial, el cual aborda temas específicos de esta materia, tal como el cálculo de derivadas.
A
partir
de
sus
resultados,
los
autores
muestran que
estos
escenarios
interactivos
promueven
la
comprensión de
conceptos de la asignatura de Cálculo Diferencial de manera autogestora.
CONCLUSIONES
Con estos resultados podemos concluir que el desarrollo de este proyecto impulsa y refuerza el programa de estudio
de la materia de Cálculo Integral hacia la incorporación de nuevos enfoques sustentables que utilizan Tecnologías de
la Información.
Con este proyecto se espera ayudar en la comprensión de los temas descritos en el contexto de una aplicación real
dentro del área de la biología, así como contribuir en el desarrollo de algunas habilidades, tales como: la capacidad de
trabajar en equipo, discutir distintos puntos de vista, hablar en público y expresar claramente sus ideas. En este caso,
por
medio
de
la
comparación
de
calificaciones
promedio
se
puede
observar
una
contribución
considerable
implementando este proyecto dentro de la materia de Cálculo Integral. Además de contribuir con su capacidad de
análisis y desarrollo para resolver otros problemas reales dentro de la materia, con lo cual se aporta en su formación
profesional.
A
partir
de
los
resultados
obtenidos
en
este
trabajo
de
investigación,
se
puede
proponer
como
trabajo
futuro
la
implementación de la metodología empleada para abordar otros temas dentro de la materia de Cálculo Integral, tales
como: aplicaciones de longitud de arco de una curva en el plano, cálculo de áreas de superficies, cálculo de trabajo,
entre otros temas.
DISPONIBILIDAD DE DATOS (Data Availability Statement)
Datos del estudio:
Acerca
de
los
exámenes
y
las
encuestas
de
los
cuales
se
calculan
las
estadísticas
se
tienen
en
resguardo
físicamente,
sin
embargo,
en
este
documento se comparten sólo las estadísticas que resultan de interés para
respaldar las conclusiones planteadas.
Protocolo / Código / Cuestionario:
Se describe dentro del texto.
Fuente de financiamiento:
No hay fuente de financiamiento.
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68
Conflicto de interés:
Los autores declaran que no existe conflicto de interés en relación con el presente
manuscrito.
Aprobación ética:
No aplica.
REFERENCIAS
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CONTRIBUCIÓN DE AUTORES (CRediT Taxonomy)
Rol
Autor (es)
Conceptualización
José Oscar Laguna Cortés, Selene Hernández Rodríguez, Erika
López Sánchez, María Patricia Torrijos Muñoz
Metodología
José Oscar Laguna Cortés, Selene Hernández Rodríguez, Erika
López Sánchez, María Patricia Torrijos Muñoz
Software
José Oscar Laguna Cortés, Selene Hernández Rodríguez, Erika
López Sánchez, María Patricia Torrijos Muñoz, Yaziry Yerusha
Díaz Torres
Validación
José Oscar Laguna Cortés, Selene Hernández Rodríguez, Erika
López Sánchez, María Patricia Torrijos Muñoz, Yaziry Yerusha
Díaz Torres
Análisis formal
José Oscar Laguna Cortés, Selene Hernández Rodríguez, Erika
López Sánchez, María Patricia Torrijos Muñoz, Yaziry Yerusha
Díaz Torres
Investigación
José Oscar Laguna Cortés, Selene Hernández Rodríguez, Erika
López Sánchez, María Patricia Torrijos Muñoz, Yaziry Yerusha
Díaz Torres
Recursos
José Oscar Laguna Cortés, Selene Hernández Rodríguez, Erika
López Sánchez, María Patricia Torrijos Muñoz, Yaziry Yerusha
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Curación de datos
José Oscar Laguna Cortés, Selene Hernández Rodríguez, Erika
López Sánchez, María Patricia Torrijos Muñoz, Yaziry Yerusha
Díaz Torres
Redacción
–
borrador original
José Oscar Laguna Cortés, Selene Hernández Rodríguez, Erika
López Sánchez, María Patricia Torrijos Muñoz
Redacción
–
revisión y edición
José Oscar Laguna Cortés, Selene Hernández Rodríguez, Erika
López Sánchez, María Patricia Torrijos Muñoz
Visualización
José Oscar Laguna Cortés, Selene Hernández Rodríguez, Erika
López Sánchez, María Patricia Torrijos Muñoz
Supervisión
José Oscar Laguna Cortés
Administración del proyecto
José Oscar Laguna Cortés
